De formule
Hoe je covariantie berekent
Covariantie meet of twee variabelen samen bewegen. Een positieve waarde betekent dat ze doorgaans samen stijgen en dalen, een negatieve dat de ene stijgt terwijl de andere daalt, en een waarde rond nul dat er geen consistent lineair verband is.
De formule hierboven werkt met vier somstatistieken — het aantal paren en de sommen van x, y en x × y — zodat de losse gegevensparen niet nodig zijn. De steekproefversie deelt door n − 1 in plaats van n, dezelfde correctie van Bessel die ook bij de standaarddeviatie wordt toegepast.
Waarom covariantie belangrijk is
Covariantie draagt de eenheden van beide variabelen tegelijk, waardoor de ruwe grootte op zich nauwelijks te interpreteren is. Deel je door de twee standaarddeviaties, dan krijg je de correlatiecoëfficiënt, en dat is meestal het getal dat gerapporteerd wordt.
Toch is covariantie op zich onmisbaar binnen andere berekeningen: portefeuillevariantie, regressiehellingen en hoofdcomponentenanalyse bouwen er rechtstreeks op voort. Portefeuilletheorie gebruikt covariantie omdat de variantie van een portefeuille afhangt van hoe de onderliggende posities ten opzichte van elkaar bewegen, en dat is precies de wiskundige basis van spreiding over verschillende beleggingen.
Rekenvoorbeeld
Met n = 10 paren, Σx = 55, Σy = 125 en Σxy = 859 is ΣxΣy ÷ n = 6.875 ÷ 10 = 687,5, zodat Σxy − ΣxΣy ÷ n = 859 − 687,5 = 171,5.
De steekproefcovariantie is dan 171,5 ÷ (10 − 1) ≈ 19,0556, en de populatiecovariantie 171,5 ÷ 10 = 17,15. Het gemiddelde van x is Σx ÷ n = 55 ÷ 10 = 5,5.
Correlatie is covariantie gedeeld door het product van de twee standaarddeviaties. Die normalisatie haalt de eenheden weg en beperkt het resultaat tot het bereik −1 tot +1, waardoor het makkelijker te interpreteren en te vergelijken is.
Ja. Meet je lengte in centimeter in plaats van meter, dan vermenigvuldigt dat de covariantie met 100 zonder dat het onderliggende verband verandert. Dat is precies de reden waarom correlatie bestaat: die maat is ongevoelig voor de gekozen eenheid.