De formule
Hoe je chi-kwadraat berekent
De chi-kwadraattoets voor onafhankelijkheid gaat na of twee categorische variabelen samenhangen — of het verschil in uitkomstpercentage tussen twee groepen groter is dan toeval zou verklaren. Voor een 2×2-tabel met de celaantallen a, b, c en d hoef je niet terug naar de ruwe data: de verkorte formule hierboven werkt rechtstreeks met die vier aantallen.
Met één vrijheidsgraad — het aantal rijen min één, keer het aantal kolommen min één — is de wortel van chi-kwadraat bovendien gelijk aan de bijbehorende z-waarde. Zo wordt de p-waarde hier afgeleid: eerst chi-kwadraat berekenen, dan de wortel nemen en die als z-score door dezelfde staartkansformule halen die ook bij een z-toets wordt gebruikt.
Waarom chi-kwadraat belangrijk is
Chi-kwadraat is het standaardinstrument om te toetsen of twee categorische kenmerken — behandeling en uitkomst, kanaal en conversie, regio en voorkeur — onafhankelijk van elkaar zijn. Is de chi-kwadraatwaarde hoog genoeg, dan is het onwaarschijnlijk dat het waargenomen verschil puur toeval is.
De toets zegt alleen iets over de aanwezigheid van een verband, niet over de richting of de grootte ervan. Daarvoor kijk je naar de oddsratio: die vertelt of groep 1 de uitkomst vaker of minder vaak heeft dan groep 2, en met welke factor.
Rekenvoorbeeld
Bij 218 van de 5.200 deelnemers in groep 1 treedt de uitkomst op, tegenover 263 van de 5.150 in groep 2 — percentages van respectievelijk 4,19% en 5,11%. Met a = 218, b = 4.982, c = 263 en d = 4.887 geeft de formule N(ad − bc)² gedeeld door het product van de vier randtotalen een chi-kwadraatwaarde van ongeveer 4,8830.
De bijbehorende p-waarde met 1 vrijheidsgraad komt uit op ongeveer 0,0271 — onder de gangbare grens van 0,05, dus het verschil is statistisch significant. De oddsratio (ad gedeeld door bc) is ongeveer 0,8131: de kans op de uitkomst is in groep 1 zo'n 19% lager dan in groep 2.
De uitkomst interpreteren
Met 1 vrijheidsgraad is een chi-kwadraatwaarde boven 3,84 significant op het 5%-niveau en boven 6,63 op het 1%-niveau. De testwaarde zelf zegt niets over de richting van het verband — daarvoor is de oddsratio nodig, die hier onder 1 ligt en dus op een lager risico in groep 1 wijst.
De benadering veronderstelt voldoende grote celaantallen: de vuistregel is een verwacht aantal van minstens vijf in elke cel. Bij kleinere aantallen is de exacte toets van Fisher de juistere keuze.
Of de samenhang tussen twee categorische variabelen sterker is dan toeval zou verklaren. De toets geeft geen richting of sterkte aan — gebruik daarvoor de oddsratio of het relatieve risico.
Die correctie was bedoeld voor kleine steekproeven en wordt tegenwoordig algemeen als te conservatief beschouwd. Bij voldoende grote celaantallen is de ongecorrigeerde statistiek prima; bij te kleine aantallen kun je beter de exacte toets van Fisher gebruiken dan corrigeren.