De formule
Hoe je een z-toets berekent
Een one-sample z-toets vergelijkt een steekproefgemiddelde met een bekende populatiewaarde. Dat vereist een bekende standaarddeviatie van de populatie, wat in de praktijk meestal betekent: grote steekproeven of goed gekarakteriseerde metingen.
De z-waarde drukt het verschil uit in eenheden standaardfout. Een z van 2,35 betekent dat het steekproefgemiddelde 2,35 standaardfouten boven het populatiegemiddelde ligt, wat onwaarschijnlijk is onder de nulhypothese.
Waarom de z-toets belangrijk is
Waarden voorbij ±1,96 zijn significant op het 5%-niveau, voorbij ±2,58 op het 1%-niveau. Die grenzen komen rechtstreeks uit de normale verdeling en zijn, anders dan bij de t-toets, onafhankelijk van de steekproefomvang.
Is de standaarddeviatie van de populatie onbekend en geschat op basis van de steekproef zelf, dan is een t-toets de juiste keuze. Bij steekproeven boven ongeveer 30 waarnemingen liggen beide toetsen dicht bij elkaar, maar strikt genomen is de z-toets dan niet correct.
Rekenvoorbeeld
Met een steekproefgemiddelde van 74,2, een populatiegemiddelde van 70, een standaarddeviatie van 12 en een steekproefomvang van 45 is de standaardfout σ ÷ √n = 12 ÷ √45 ≈ 12 ÷ 6,7082 ≈ 1,7889.
De z-waarde is (74,2 − 70) ÷ 1,7889 = 4,2 ÷ 1,7889 ≈ 2,3479. De bijbehorende tweezijdige p-waarde komt uit op ongeveer 0,0189 — onder de gangbare grens van 0,05, dus het verschil is statistisch significant.
Wanneer de standaarddeviatie van de populatie echt bekend is, of de steekproef erg groot is. In de praktijk komt dat weinig voor buiten kwaliteitscontrole en gestandaardiseerde toetsen, dus meestal is de t-toets de gangbare keuze.
Een z-score plaatst één waarneming ten opzichte van een verdeling. Een z-toets plaatst een steekproefgemiddelde ten opzichte van een verondersteld populatiegemiddelde, gedeeld door de standaardfout in plaats van de standaarddeviatie.